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Cours de Mécanique Spatiale - Artémis II
Approche d'Ingénieur : des Équations à la Simulation
Un cours complet de mécanique spatiale — définir les outils mathématiques, puis simuler étape par étape le voyage Terre–Lune en s'appuyant sur Newton, l'énergie mécanique, Runge-Kutta 4 et les corrections relativistes.
La Philosophie de l'Ingénieur
« Définir les outils, puis simuler par étapes. » — C'est ce qui sépare le physicien théorique de l'ingénieur qui fait voler des fusées.
Artémis II n'est pas qu'une mission lunaire : c'est le premier alunissage habité depuis Apollo 17 en 1972. Pour y parvenir, la NASA orchestre une mécanique céleste d'une précision redoutable, mêlant dynamique newtonienne, optimisation énergétique et corrections relativistes.
Ce cours adopte une posture d'ingénieur rigoureuse : nous commençons par dresser un formulaire de référence — les équations-piliers — avant de les intégrer dans une simulation décomposée du trajet en trois phases. Chaque étape ajoute une couche de complexité physique, comme un signal électrique auquel on ajoute successivement ses harmoniques.
À la fin de ce cours, vous saurez dériver les équations du mouvement d'un vaisseau spatial dans un champ gravitationnel à trois corps, les intégrer numériquement par Runge-Kutta 4, et y ajouter les termes correctifs relativistes. Vous comprendrez pourquoi la SLS doit être aussi gigantesque.
Le Formulaire
Les 3 piliers mathématiques : Newton, Énergie, Relativité. Les outils avant la simulation.
La Simulation
Trois étapes : sortie de Terre, SOI lunaire, perturbation solaire. Du simple au complet.
La Relativité
Correction de courbure espace-temps. La géodésique comme signal corrigé.
Le Formulaire de Référence
Avant de lancer la moindre simulation, un ingénieur dresse l'inventaire de ses équations. Ce sont les briques élémentaires sur lesquelles tout le raisonnement s'appuiera.
La trajectoire d'un vaisseau spatial est régie par le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD). Dans un référentiel galiléen :
La force dominante dans l'espace circumterrestre est la gravitation universelle de Newton :
En coordonnées cartésiennes (repère géocentrique inertiel) :
\[\ddot{x} = -\frac{\mu_T\,x}{r_T^3} - \frac{\mu_L\,(x-x_L)}{r_L^3} + a_{S,x}\]
\[\ddot{y} = -\frac{\mu_T\,y}{r_T^3} - \frac{\mu_L\,(y-y_L)}{r_L^3} + a_{S,y}\]
avec r_T = √(x²+y²) r_L = |r⃗ − r⃗_L|En coordonnées polaires (utiles pour analyser les orbites) :
\[\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = -\frac{\mu}{r^2}\]
\[r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = 0\]
⟹ L = m·r²·θ̇ = constante (moment cinétique conservé)En électricité, la loi de Kirchhoff des mailles structure tout le calcul de circuit. Le PFD joue le même rôle en mécanique céleste : c'est la "loi de maille" de la trajectoire. L'accélération est la "tension", la force gravitationnelle est la "source".
En pratique, on groupe G·M en un seul paramètre μ pour éviter les erreurs d'arrondi :
| Corps | μ = G·M (m³/s²) | Note |
|---|---|---|
| Terre | 3,986 × 10¹⁴ | Référence orbites basses |
| Lune | 4,905 × 10¹² | ≈ 1/81 de la Terre |
| Soleil | 1,327 × 10²⁰ | Perturbateur dominant |
L'énergie mécanique totale d'un vaisseau dans le champ gravitationnel d'un corps de masse M :
⚠️ Piège gravitationnel (E_m < 0)
Orbite fermée — ellipse. L'énergie cinétique ne suffit pas à vaincre le puits gravitationnel. C'est le cas des satellites, de la Lune, de la Terre autour du Soleil.
🚀 Libération (E_m ≥ 0)
E_m = 0 : parabole de fuite (vitesse de libération exacte). E_m > 0 : hyperbole — le vaisseau s'échappe définitivement. Cas des sondes interplanétaires.
\[v_{lib} = \sqrt{\frac{2\,\mu}{r}}\]
Application numérique :
Terre (R = 6 371 km) : v_lib ≈ 11 180 m/s ≈ 11,18 km/s
Lune (R = 1 737 km) : v_lib ≈ 2 375 m/s ≈ 2,38 km/sPour une orbite elliptique : \(E_m = -\mu m / (2a)\). Deux ellipses de même demi-grand axe a ont la même énergie. Pour Artémis, le TLI vise précisément le bon a pour que l'apogée atteigne l'orbite lunaire (≈ 385 000 km).
Pour la navigation haute précision, Newton seul ne suffit plus. Deux effets relativistes se combinent et s'opposent :
Effet RG (altitude) : horloge AVANCE → +45,9 µs/jour (GPS)
Effet RR (vitesse) : horloge RETARDE → − 7,2 µs/jour (GPS)
Bilan net GPS : +38,4 µs/jour
Pour Artémis (altitude et vitesse variables en continu) :
⟹ On intègre la correction numériquement le long de la trajectoire.
Correction totale sur 3 jours ≈ +250 nsLa Relativité Restreinte ralentit les horloges en mouvement. La Relativité Générale les accélère quand elles s'éloignent de la gravité. Pour Artémis en transit, les deux effets varient en temps réel — d'où la nécessité d'une correction intégrée numériquement avec le même RK4 que la trajectoire.
Le Trajet Simulé en Trois Étapes
On construit la simulation comme un ingénieur électronicien construit un filtre : d'abord le signal de base, puis on ajoute les harmoniques perturbateurs un à un.
Durant cette phase, la Terre est le seul maître. La Lune et le Soleil exercent des forces négligeables — comme un condensateur devant une résistance au temps t=0.
L'Orion est d'abord placé sur une orbite circulaire basse (LEO) à 400 km. Pour atteindre la Lune, on transforme cette orbite en une ellipse de Hohmann très allongée dont l'apogée coïncide avec la distance lunaire.
r_LEO = 6 371 + 400 = 6 771 km = 6,771 × 10⁶ m
r_Lune = 384 400 km = 3,844 × 10⁸ m
μ_T = 3,986 × 10¹⁴ m³/s²
Vitesse circulaire en LEO :
v_c = √(μ_T / r_LEO) = √(3,986×10¹⁴ / 6,771×10⁶) ≈ 7 669 m/s
Demi-grand axe de l'ellipse TLI :
a = (r_LEO + r_Lune) / 2 = (6,771×10⁶ + 3,844×10⁸) / 2 ≈ 1,956×10⁸ m
Vitesse au périgée (équation de vis-viva) :
v_TLI = √(μ_T × (2/r_LEO − 1/a)) ≈ 10 842 m/s
Impulsion nécessaire :
Δv_TLI = v_TLI − v_c = 10 842 − 7 669 ≈ 3 173 m/s ≈ 3,17 km/sΔv total (décollage + TLI) ≈ 9 700 + 3 173 ≈ 12 873 m/s
Isp moteurs RS-25 (vide) ≈ 452 s → Isp × g₀ = 452 × 9,807 = 4 433 m/s
Rapport de masse nécessaire :
m_i/m_f = e^(12 873 / 4 433) = e^2,904 ≈ 18,2
Charge utile Orion + ESM ≈ 26 000 kg
Propergol minimum ≈ (18,2 − 1) × 26 000 ≈ 447 000 kg
En réalité (pertes aéro + gravité + marges) :
SLS Block 1 — masse totale décollage ≈ 2 608 000 kg
Ratio total : 2 608 000 / 26 000 ≈ 100
→ 1 kg de charge utile = 100 kg de fusée au décollage !Vecteur état : u = [x, y, vx, vy]
Dérivée : du/dt = f(t, u) =
[ vx,
vy,
−μ_T · x / (x²+y²)^(3/2),
−μ_T · y / (x²+y²)^(3/2) ]
Conditions initiales (LEO post-TLI) :
x₀ = 6,771×10⁶ m, y₀ = 0
vx₀ = 0, vy₀ = 10 842 m/sv⃗_vaisseau/Lune = v⃗_vaisseau/Terre − v⃗_Lune/Terre
Exemple à l'entrée SOI :
v_vaisseau/Terre ≈ 200 m/s (quasi immobile vu de la Terre)
v_Lune/Terre ≈ 1 022 m/s (vitesse orbitale de la Lune)
v_vaisseau/Lune ≈ |200 − 1022| ≈ 822 m/s
⟹ Le vaisseau "tombe" dans le puits lunaire à 822 m/s !Position de la Lune dans le repère géocentrique :
r⃗_L(t) = [d_L·cos(ω_L·t), d_L·sin(ω_L·t)]
ω_L = 2π / T_L = 2π / (27,3 × 86 400) rad/s
Nouveau système :
du/dt = [
vx,
vy,
−μ_T·x/r_T³ − μ_L·(x−xL)/rL³,
−μ_T·y/r_T³ − μ_L·(y−yL)/rL³
]Orbite lunaire à h = 100 km :
r_LOI = 1 737 + 100 = 1 837 km
Vitesse circulaire lunaire :
v_c_Lune = √(μ_L / r_LOI) = √(4,905×10¹² / 1,837×10⁶) ≈ 1 634 m/s
Vitesse d'arrivée (vu de la Lune) ≈ 2 400 m/s
Δv_LOI = 2 400 − 1 634 ≈ 766 m/s (freinage moteur ESM)Le Soleil est toujours présent comme perturbateur. Sa force de marée est suffisante pour dévier la trajectoire de plusieurs dizaines de kilomètres sur la durée du voyage.
Accélération de marée (terme différentiel) :
\[\vec{a}_{marée} = -\mu_S\!\left(\frac{\vec{r}_{Sv}}{|\vec{r}_{Sv}|^3} - \frac{\vec{r}_{ST}}{|\vec{r}_{ST}|^3}\right)\]
Application numérique :
μ_S = 1,327×10²⁰ m³/s²
d_max (Terre–Lune) = 3,844×10⁸ m
r_ST (Terre–Soleil) = 1,496×10¹¹ m
a_marée_max ≈ μ_S × d_max / r_ST³
= 1,327×10²⁰ × 3,844×10⁸ / (1,496×10¹¹)³
≈ 1,43 × 10⁻⁶ m/s²
Déviation sur 3 jours (259 200 s) :
Δr ≈ ½ × a_marée × t² ≈ 48 km ← non négligeable !Avec les trois corps actifs, le problème devient non-analytique. On utilise RK4 — le standard de l'ingénierie aérospatiale pour ce type de problème.
# Constantes
mu_T = 3.986e14; mu_L = 4.905e12; mu_S = 1.327e20
d_L = 3.844e8; wL = 2.665e-6 # dist. Terre-Lune, ω_L
def f(t, u):
x, y, vx, vy, tau = u
# Position Lune
xL = d_L * cos(wL*t); yL = d_L * sin(wL*t)
# Distances
rT = (x**2+y**2)**.5
rL = ((x-xL)**2+(y-yL)**2)**.5
# Accélérations
ax = -mu_T*x/rT**3 - mu_L*(x-xL)/rL**3 + aSx(t,x,y)
ay = -mu_T*y/rT**3 - mu_L*(y-yL)/rL**3 + aSy(t,x,y)
# Correctif relativiste (5ᵉ composante)
dtau = 1 - (vx**2+vy**2)/(2*c**2) - Phi(x,y,t)/c**2
return [vx, vy, ax, ay, dtau]
def rk4(t, u, h):
k1 = f(t, u)
k2 = f(t+h/2, [u[i]+h*k1[i]/2 for i in range(5)])
k3 = f(t+h/2, [u[i]+h*k2[i]/2 for i in range(5)])
k4 = f(t+h, [u[i]+h*k3[i] for i in range(5)])
return [u[i]+(h/6)*(k1[i]+2*k2[i]+2*k3[i]+k4[i]) for i in range(5)]
# Lancement : h = 60 s, durée = 3 jours = 259 200 s
u = [6.771e6, 0, 0, 10842, 0]; t = 0
for _ in range(4320): u = rk4(t, u, 60); t += 60
La Courbure de l'Espace-Temps
Dans la simulation finale, on ajoute la courbure gravitationnelle. La ligne droite dans l'espace courbe — la géodésique — est légèrement modifiée par la masse du Soleil.
Accélération correctrice due à la courbure solaire :
\[\vec{a}_{GR} \approx \frac{\mu_S}{r^2}\left[\frac{4\mu_S}{r\,c^2} - \frac{v^2}{c^2}\right]\hat{r}\]
Application numérique (r ≈ 1 UA, v ≈ 30 km/s) :
a_GR ≈ 3,7 × 10⁻¹⁰ m/s²
Déviation sur 3 jours :
Δr_GR ≈ ½ × 3,7×10⁻¹⁰ × (259 200)² ≈ 1,25 m
Nécessaire pour l'alunissage de précision métrique d'Artémis III.\[\frac{d\tau}{dt} = 1 - \frac{1}{c^2}\!\left(\frac{v^2}{2} + \Phi(t)\right)\]
Φ(t) = potentiel gravitationnel total (Terre + Lune + Soleil)
→ On intègre simultanément à la position dans le même RK4.
→ Correction totale Artémis sur 3 jours ≈ +250 nsLa trajectoire newtonienne est le signal fondamental. La perturbation solaire (marée) est une harmonique basse fréquence qui dérive lentement. La correction relativiste est le terme de bruit haute précision — invisible sur un oscilloscope basse résolution, mais que l'ingénieur RF doit compenser. En navigation spatiale, ce "bruit" de 1,25 m fait la différence entre un alunissage réussi et un impact raté.
Budget Δv et Valeurs à Retenir
| Manœuvre | Δv (m/s) | Corps dominant | Formule |
|---|---|---|---|
| Décollage → LEO | ~9 700 | Terre + atm. | Tsiolkovsky |
| TLI (Trans-Lunar Injection) | ~3 173 | Terre | Vis-viva + Hohmann |
| Correction mi-parcours (MCC) | 10 – 50 | Soleil (marée) | Force de marée |
| LOI (Lunar Orbit Insertion) | ~766 | Lune | Vis-viva |
| Descente HLS (alunissage) | ~1 800 | Lune | Vis-viva |
| Décollage lunaire HLS | ~1 860 | Lune | Tsiolkovsky |
| TEI (Trans-Earth Injection) | ~640 | Lune | Vis-viva |
| Rentrée atmosphérique | ~11 000 (freinage) | Terre + atm. | Aérodynamique |
1. Écrire les équations du mouvement en cartésien et polaire.
2. Utiliser vis-viva et énergie mécanique pour analyser n'importe quelle orbite.
3. Calculer les Δv des manœuvres clés (TLI, LOI) avec Hohmann.
4. Comprendre la SOI et le changement de référentiel géocentrique → sélénocentrique.
5. Simuler numériquement un trajet Terre-Lune à 3 corps par RK4.
6. Appliquer les corrections relativistes PPN et synchroniser les horloges.
7. Comprendre Tsiolkovsky et le paradoxe de la masse de propergol.
Artémis II
Premier alunissage habité depuis Apollo 17 — Décembre 1972
« La Lune n'est pas un rêve. C'est une équation différentielle que nous savons résoudre. »
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