Einstein et la Lumière : Manuel de Survie en Relativité

L'Électricité Réelle ·

Un oral de Mines-Télécom, le vecteur de Poynting… et une mort thermique locale du champ électrique.

Il y a des exercices de concours qui sont des exercices. Et il y en a qui sont des pièges à intuition, posés là par un examinateur au sourire discret. Celui-ci appartient à la seconde catégorie. En apparence : une décharge de condensateur, du grand classique. En réalité : une démonstration éclatante que l'énergie électrique ne circule pas toujours — parfois, elle meurt sur place.

Le dispositif

Un condensateur sphérique : une armature interne de rayon a portant +Q₀, une armature externe de rayon b portant −Q₀. Entre les deux, un isolant. À t = 0, coup de théâtre : on rend le milieu inter-armatures conducteur, de conductivité γ. Le condensateur va se décharger à travers lui-même.

+Q

−Q

Deux sphères concentriques, un milieu devenu conducteur. Le drame se joue entre a et b.

Acte I — Il n'y a pas de champ magnétique. Aucun. Jamais.

Premier réflexe du physicien : les symétries. Tout plan contenant le centre O et un point M quelconque est plan de symétrie de la distribution (charges sphériques, courants radiaux). Or le champ magnétique est un pseudovecteur : il devrait être perpendiculaire à chacun de ces plans. Être perpendiculaire à une infinité de plans qui se coupent, c'est une mission impossible, sauf pour un seul candidat :

B(r, t) = 0⃗  partout, à tout instant

Retenez bien ce résultat. C'est lui qui va faire s'effondrer notre intuition dans quelques paragraphes.

Acte II — Maxwell arbitre un duel de courants

Dans le milieu conducteur, avec la loi d'Ohm locale j⃗ = γE⃗ et un milieu localement neutre, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :

rot⃗ B⃗ = μ₀ γ E⃗ + μ₀ ε₀ ∂E⃗/∂t = 0⃗

Puisque B⃗ est nul, le membre de droite doit l'être aussi. Autrement dit : le courant de déplacement compense exactement, en chaque point, le courant de conduction. Un duel parfait, à somme nulle. Il en découle immédiatement l'équation différentielle :

∂E/∂t + E/τ = 0  avec  τ = ε₀/γ

τ est le temps de relaxation du milieu. Avec le théorème de Gauss pour la structure spatiale, la solution entre les armatures est :

E(r, t) = Q₀ / (4π ε₀ r²) · e^(−t/τ)

Le champ garde sa forme coulombienne et s'éteint exponentiellement, partout au même rythme. Une extinction synchronisée.

Acte III — Les résultats de concours (expédiés avec les honneurs)

1. Puissance Joule. P(t) = ∫ γE² dV = γQ₀²/(4πε₀²) · (1/a − 1/b) · e^(−2t/τ). Le condensateur chauffe. C'est un fait.
2. Courant. i(t) = j·4πr² = (Q₀/τ)·e^(−t/τ), indépendant de r — et l'on vérifie i = −dQ/dt. La charge s'écoule bien d'une armature à l'autre.
3. Résistance interne. P = Ri² donne R = (1/4πγ)·(1/a − 1/b).
4. Capacité. τ = RC fournit C = 4πε₀ab/(b−a) : la capacité classique du condensateur sphérique, retrouvée par la dynamique. Élégant.

Voilà pour l'oral. Le candidat range ses feuilles, l'examinateur hoche la tête. Mais nous, lecteurs de L'Électricité Réelle, nous n'avons pas fini. Car une question dérangeante flotte dans la salle.

Acte IV — Le paradoxe : où circule l'énergie ?

Depuis les épisodes 11 et 12, nous savons que l'énergie électrique ne voyage pas dans les fils, mais dans le champ électromagnétique qui les entoure, portée par le vecteur de Poynting :

Π⃗ = (E⃗ × B⃗) / μ₀

Appliquons-le ici. E⃗ existe, radial, bien vivant. Et B⃗… est nul partout. Donc :

Π⃗ = 0⃗  partout, tout le temps

Aucune énergie ne circule. Nulle part. Pas un microjoule ne traverse la moindre surface. Et pourtant le condensateur se décharge, le milieu chauffe, la puissance Joule est bien réelle — nous venons de la calculer. Contradiction ? Vérifions avec le bilan local d'énergie de Poynting :

∂u/∂t + div Π⃗ = − j⃗·E⃗

Avec div Π⃗ = 0, il reste :

∂/∂t (ε₀E²/2) = − γE²

Et le calcul confirme : ε₀E·∂E/∂t = −ε₀E²/τ = −γE². Le bilan est exact, sans le moindre transport. Ce que le champ perd en chaque point, l'effet Joule le dissipe en ce point même.

« Un condensateur qui se décharge sans qu'un seul joule ne se déplace. »

L'énergie stockée dans le champ électrique n'est pas acheminée vers un lieu de dissipation : elle est consumée sur place, point par point, comme mille bougies qui s'éteindraient chacune dans sa propre alcôve. La symétrie sphérique parfaite a supprimé le champ magnétique ; sans champ magnétique, pas de vecteur de Poynting ; sans vecteur de Poynting, pas de transport. C'est une mort thermique locale du champ électrique.

Le contraste qui fait tout comprendre : dans un circuit ordinaire (une pile, des fils, une lampe), l'énergie quitte la source, voyage dans le champ le long des conducteurs, et converge vers le filament. Le vecteur de Poynting y est un fleuve. Ici, dans le condensateur sphérique, le fleuve est à sec — chaque goutte d'énergie s'évapore là où elle est née. Deux régimes de la même électrodynamique. La vraie.

Ce qu'il faut retenir

Le vecteur de Poynting ne dit pas seulement comment l'énergie circule : il dit aussi, parfois, qu'elle ne circule pas. La dissipation Joule n'exige aucun flux d'énergie entrant — il suffit qu'une densité d'énergie soit déjà présente localement et qu'un mécanisme la convertisse sur place. C'est le courant de déplacement, ce grand discret, qui orchestre ici l'annulation parfaite du champ magnétique, et avec lui de tout transport.

La prochaine fois qu'on vous dira que « le courant transporte l'énergie », souvenez-vous de ces deux sphères : la charge s'y écoule bel et bien d'une armature à l'autre… et l'énergie, elle, n'a pas bougé d'un millimètre.

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Hassan — Ingénieur-Docteur (EHTP) · upskillinfo.com · Série « L'Électricité Réelle ». Exercice d'origine : oral Mines-Télécom, décharge d'un condensateur sphérique.